PARAMETRES ORBITAUX

	CONTENU : Mis à jour septembre 2007, revu sept 2011 I Définition des vecteurs fondamentaux Moment cinétique réduit Vecteur excentricité Vecteur nodal II Définition et calcul des paramètres orbitaux Longitude vernale W | Inclinaison orbitale i | Argument nodal du périgée w a et e | M, j, q, tp III Calcul des vecteurs P Q W du repère périfocal dans J2000 Matrice de passage de IJK à PQW Expression de r et V en fonction de j, P, Q IV AUTRES PARAMETRES ANGULAIRES Repères Paramètres adaptés aux orbites circulaires et(ou)équatoriales Routines disponibles Restitution d'orbite Repérage d'un géostationnaire TRAJECTOGRAPHIE ET CALCULS ORBITAUX

 Ce cours est capital pour les applications, car il conditionne le positionnement et le repérage précis d'un satellite d'une sonde ou d'une planète.

L'idée générale, pour introduire les paramètres orbitaux, est de considèrer à un instant t fixé le satellite comme correspondant à la donnée:

 D'un solide (C) qui n'est autre que la trajectoire supposée solidifiée, son repérage nécessite donc

• De repérer un plan, surface qui demande 2 paramètres angulaires, notés W et i
• De préciser, dans ce plan, la position du grand axe de la conique, avec un paramètre angulaire noté w
• De préciser la forme de l'ellipse, simplement avec a et e déjà connus

 De donner un "top" c'est à dire un instant initial et une position initiale à partir de laquelle, on peu déduire toutes les autres positions. Il faudra donc 2 autres paramètres, un angle et un temps.

Au total les paramètres orbitaux seront au nombre de 6 plus un temps initial.

I DEFINITION DES VECTEURS FONDAMENTAUX :

Le tir étant réalisé, nous appelons :

Les conditions initiales à l'instant to:
Au point courant à l'instant t

Le mouvement képlérien possède des intégrales premières vectorielles remarquables, qui s'expriment naturellement avec le rayon vecteur et le vecteur vitesse.

1°) MOMENT CINETIQUE REDUIT h:

Nous avons déjà établi la constance du vecteur

Ce vecteur h donne par son module la constante des aires K, il oriente le sens du mouvement et donne la direction du plan orbital.

2°) VECTEUR EXCENTRICITE e :

Curieuse construction pour ce vecteur, puisqu'on pose:

On commence par démontrer que ce vecteur est constant, en calculant sa dérivée.

Ensuite, nous montrons que, puisque ce vecteur est constant le long de la trajectoire, on peut le calculer en tout point et en particulier au périgée P de l'orbite. Nous conservons les notations P, Q, W pour le repère périfocal et r_p pour le rayon vecteur.

Donc le vecteur e, par sa norme fournit l'excentricité de l'orbite, mais surtout il donne l'unitaire P qui "pointe" le périgée, c'est la principale utilité du vecteur excentricité, de désigner la direction du périgée.

3°) VECTEUR NODAL n :

Le vecteur nodal n se définit par

Ce vecteur n'existe que pour les orbites non équatoriales. Le vecteur n a la propriété de "pointer" le nœud ascendant de l'orbite, puisqu'il appartient au plan équatorial et au plan orbital.

II DEFINITION DES PARAMETRES ORBITAUX :

La figure ci-dessous illustrera la définition des paramètres orbitaux pour les orbites circumterrestres, non équatoriales et non circulaires.

1°) REPERAGE DU PLAN ORBITAL :

Nous savons qu'avec une excellente approximation, le plan équatorial terrestre est fixe dans le repère inertiel IJK. Le plan orbital coupe le plan équatorial suivant une droite appelée LIGNE DES NOEUDS.

• N point où le satellite passe de l'hémisphère sud à l'hémisphère nord, s'appelle le NŒUD ASCENDANT de l'orbite.
• N' point où le satellite passe de l'hémisphère nord à l'hémisphère sud, s'appelle le NŒUD DESCENDANT de l'orbite.

Ces 2 points sont importants dans les applications pratiques, parce que d'une part nous verrons que c'est le lieu des corrections d'inclinaison, mais également ils délimitent, pour les pays de l'hémisphère nord, la zone utilisable.

NB : Des définitions équivalentes pourront être données, des paramètres orbitaux ou des vecteurs fondamentaux, pour le repère héliocentrique écliptique ou tout autre repère planétocentrique. Ce n'est que par habitude que nous les fournissons dans IJK.

a ) Longitude vernale W ou heure sidérale de la ligne des nœuds :

On appelle W l'angle, mesuré positivement autour de K, entre l'unitaire I et le vecteur nodal n. Conventionnellement, il est exprimé entre 0° et 360°.

Cet angle conditionne naturellement le positionnement du plan orbital par rapport à l'espace inertiel environnant. Donc tout naturellement, comme le soleil est mobile dans cet espace, W et le temps interviennent dans les problèmes d'éclairement des panneaux solaires et la gestion de l'énergie.

Le calcul de W est simple, si on lui adjoint une test à ne pas oublier.

b ) Inclinaison orbitale i :

On appelle inclinaison de l'orbite l'angle i, mesuré entre 0° et 180°positivement autour le l'axe n, entre le plan équatorial et le plan orbital. C'est encore l'angle entre les normales aux 2 plans, donc entre K et h (ou W).

Le calcul donne sans difficulté ;

Nous le verrons plus loin, mais à l'évidence plus l'inclinaison orbitale est forte, plus on peut survoler des latitudes élevées.

Quelques valeurs classiques :

I = 0° Orbite équatoriale, le plus souvent l'orbite géostationnaire.

I = 28° Inclinaison habituelle des orbites des vols Navette US

I = 63°.4 Inclinaison orbitale fréquemment utilisée par les satellites soviétiques, car c'est une valeur qui leur permet de pallier une perturbation due à J2, celle affectant le paramètre orbital w.

I = 90° Orbites polaires notamment pratiquées par les satellites météorologiques en orbite basse, leur permettant de suivre 15 fois par jour les masses d'air polaire.

I =98°.7 Inclinaison choisie par les satellites de la famille SPOT, gravitant vers 822 km du sol, travaillant en imagerie spatiale et utilisant grâce à une valeur bien choisie de i, la propriété d'héliosynchronisme. Vu du nœud ascendant le satellite se déplace vers l'ouest, contrairement à 90% des satellites.

I = 5° Sensiblement l'inclinaison de l'orbite lunaire

I = 23° 27' Inclinaison de l'orbite décrite par le soleil vu de la terre, avec passage au nœud ascendant au moment du printemps.

Autres figures tirées d'un site NASA( Excusez la copie, mais elles sont belles) :

et

2°) REPERAGE DU GRAND AXE DANS SON PLAN :

On appelle w ARGUMENT NODAL DU PERIGEE, l'angle orienté des vecteurs n et e mesuré positivement entre 0° et 360° autour de l'axe W.

• w = 0° place le périgée au nœud ascendant
• w = 180° place le périgée au nœud descendant, c'est le cas d'un tir Ariane en GTO.
• 0° < w <180°garantit un périgée dans l'hémisphère nord.
• 180° < w <360°garantit un périgée dans l'hémisphère sud

Par exemple, les tirs Ariane vers l'orbite GTO, font en sorte que w = 180°, afin de garantir un périgée sur l'équateur et donc aussi un apogée sur l'équateur, pour faciliter la manœuvre d'apogée.

3°) PARAMETRES DE FORME DE L'ORBITE :

On retient les paramètres classiques a et e, déjà rencontrés, le signe dans la relation donnant a dépend de la conique (ellipse ou hyperbole).

4°) PARAMETRE DE POSITION SUR L'ORBITE :

Le dernier des paramètres orbitaux, est en fait constitué de deux données, une position sur l'orbite et un temps correspondant à cette position. Les choix sont variables en fonction du problème traité.

• Position = PERIGEE et temps t_p, souvent de premier passage au périgée.
• Position quelconque au temps to et
• L'anomalie vraie qo, ou
• L'anomalie excentrique j_o ou

L'anomalie moyenne Mo=j_o-esinj_o

A propos de la date : Vous retrouverez souvent cette remarque : La date peut être explicite ( du genre 10 octobre 1999 à 01 h 46 mn 34 s ), mais comme tous les pays du globe n'ont pas le même calendrier, les scientifiques se sont mis d'accord sur un calendrier où la date est repérée sur un axe par une coordonnée. C'est le Calendrier Julien, où la date décimale en jours 0,00000000000 est le 01/01/2000 à 12 h 00 mn 00 s. Deux routines sont fournies permettant la conversion date calendaire à date julienne et réciproquement: ( Voir Routines) DATEJULI.EXE et DATE_CAL.EXE

Exemple : le 10 octobre 1999 à 01 h 46 mn 34 s est le jour julien - 83.42599537

REMARQUES :

Il existe 2 autres dates juliennes:

La DATE JULIENNE MODIFIEE ( MJD en anglais) avec le jour 0 le 1/1/2000 à 0 H

La DATE JULIENNE ANCIENNE, avec le 1/1/2000 12 h qui est JJ = 2451545.5

La routine DATE_CAL.EXE prend en charge ces 3 formats.

CALCUL DE L'ANOMALE VRAIE EN FONCTION DE L'ANOMALIE MOYENNE M :

Lorsque le temps écoulé depuis le passage au périgée est connu, l'anomalie moyenne M est aussi connue par

Vous trouvez ci-dessous un développement qui donne d'excellents résultats pour les orbites d'inclinaison faible :

Par exemple pour une excentricité de 0.25 la précision n'est que de 0.001 alors que pour la terre e = 0.0167 elle est de 10^-8. Donc à utiliser avec prudence.

CONCLUSIONS:
Paramètres Orbitaux :

5°) AUTRE POINT DE VUE :

Le lecteur ou l'étudiant chargé d'un projet devrait lire avec intérêt cette autre vision du calcul des paramètres orbitaux.

Il existe, dans l'espace vectoriels R⁶, une relation biunivoque entre le vecteur la position-vitesse X(t) et celui Y(t) des paramètres orbitaux.

Montrons rapidement les calculs :

a) Demi grand axe: point de vue connu, voir plus haut

b) Excentricité : point de vue connu, voir plus haut

c) Angle polaire q :

Nous adressons à la vitesse et ses composantes en polaires sur le radial u et l'orthoradial v :

d) Calcul de W et i : pour i c'est une variante du calcul vu plus haut

Tout repose, le lecteur s'en convaincra sur les composantes absolues du moment cinétique h:

on obtient donc :

et

e) Calcul de w :

Le lecteur achèvera sans peine le calcul, en exprimant le rayon vecteur grâce à l'angle w+q mesuré à partir de la ligne des nœuds.

6°) Exemple de bulletin prévisionnel:

ISS TRAJECTORY DATA
 
 Lift off time (UTC) : N/A
 Area (sq ft) : 7150.0
 Drag Coefficient (Cd) : 2.36
 90 day mean solar flux (jansky) : 179.0
 12 month mean earth geomagnetic index : 2.35
 
 
 Maneuvers contained within the current ephemeris are as follows:
 
 
 IMPULSIVE TIG (GMT) M50 DVx(FPS) LVLH DVx(FPS) DVmag(FPS) 
 IMPULSIVE TIG (MET) M50 DVy(FPS) LVLH DVy(FPS) Invar Sph HA
 DT M50 DVz(FPS) LVLH DVz(FPS) Invar Sph HP 
 ------------------------------------------------------------------------
 There are no maneuvers.
 
 
 Coasting Arc #1 (begining on orbit 1076)
 ---------------------------------------
 
 Vector Time (GMT): 2001/319/19:37:39.000
 Vector Time (MET): N/A
 Weight (LBS) : 301906.0
 
 M50 Cartesian M50 Keplerian 
 ----------------------------------- --------------------------------
 X = 3657454.44 A = 6767924.41 meter
 Y = 5468070.10 meter E = .0018118
 Z = 1538187.72 I = 51.85850
 XDOT = -4807.069245 Wp = 29.16855
 YDOT =  1583.781659 meter/sec RA = 45.64221 deg
 ZDOT = 5786.894293 TA = 347.65879
 MA = 347.70310
 Ha = 211.536 n.mi
 Hp = 203.743
 
 M50 Cartesian J2K Cartesian 
 ----------------------------------- --------------------------------
 X = 11999522.43 X = 3588581.44
 Y = 17939862.54 feet Y = 5508573.10 meter
 Z = 5046547.64 Z = 1555792.65
 XDOT = -15771.224558  XDOT = -4852.535657
 YDOT = 5196.134052 feet/sec YDOT = 1529.787577 meter/sec
 ZDOT = 18985.873664 ZDOT = 5763.425396
 
 
 The mean element set is posted at the UTC for which position is
 just north of the next ascending node relative to the above
 vector time
 
 
 TWO LINE MEAN ELEMENT SET ( Voir un cours dédié à l'explication )
 
 ISS
 1 25544U 98067A 01319.87879512 .00057998 00000-0 70152-3 0 9009
 2 25544 51.6359 45.8276 0009968 339.7333 20.3426 15.61163421 10778
 
 
 Satellite: ISS
 Catalog Number: 25544
 Epoch time: 01319.87879512  = yrday.fracday
 Element set: 900
 Inclination: 51.6359 deg
 RA of node: 45.8276 deg
 Eccentricity: .0009968 
 Arg of perigee: 339.7333 deg
 Mean anomaly: 20.3426 deg
 Mean motion: 15.61163421 rev/day
 Decay rate: 5.79980E-04 rev/day^2
 Epoch rev: 1077
 Checksum: 336

NB1 : Les paramètres orbitaux concernent aussi les planètes en référentiel héliocentrique, on pourra voir le site NASA dédié, pratique sous un format .TXT ou lire le tableau ci-après.

III CALCUL DES DES VECTEURS P, Q, W DANS IJK :

1°) Calcul des composantes :

Dans les études numériques, il est indispensable de passer de la base absolue à d'autres bases et en particulier, dans la base PQW du repère périfocal.

Le lecteur réalisera les calculs classiques qui donnent les composantes de P, Q, W dans I, J, K.

2°) MATRICE DE PASSAGE DE ( IJK ) à ( PQW ) :

Le lecteur se convaincra, en utilisant ses connaissances en algèbre linéaire que la matrice de passage P de la base IJK à la base PQW vaut :

Naturellement la matrice de passage inverse est la transposée de P:

P^-1 = ^tP.

Avec les résultats du cours sur l'utilisation de l'anomalie excentrique, on a :

Le lecteur pourra aussi s'exercer à redémontrer les relations ci-dessus:

Et naturellement avec la chronologie :

On obtient alors les coordonnées du satellite dans le repère associé à J2000.

LOCALISATION SATELLITE :

Un satellite a été lancé à une date to, sous les conditions de tir fournies par le rayon vecteur et la vitesse initiale.

Où se trouve t-il à la date t ?

Le tableau logique ci-dessous résume la chaîne des calculs à faire

avec le lien t --> j

On obtient alors les coordonnées du satellite dans le repère inertiel associé à J2000.

IV PARAMETRES ORBITAUX EN GENERAL:

Le lecteur s'intéressera certainement à de voyages interplanétaires et donc également aux planètes et à divers astéroïdes du système solaire.

Il sera donc amené à utiliser des éphémérides du BDL ou des logiciels spécialisés.

Pour ne pas être dérouté par la nomenclature associée au repérage, il vaut mieux poser les bases d'une bonne compréhension.

NB 1 :Le lecteur qui rencontrera la notation le code TLE ( Two Lines Elements) pour un satellite, pourra en trouver les explications soit sur ce site soit en allant consulter http://perso.infonie.fr/f6gry/tlebis.htm

Sur le site même : voir EXPLICATIONS DU CODE TLE

NB 2 : Pour les radioamateurs une autre forme de présentation existe dite de l'AMSAT ( association de radioamateurs) voir CODE TLE

1°) REPERES DE REFERENCE:

Un repère de travail ( FRAME en anglais ), géocentrique ou héliocentrique, est toujours défini par 2 éléments :

Un axe fixe de référence, le premier axe I appelé une EQUINOXE , c'est à dire un axe pointant depuis le centre du soleil la position de la Terre à l'équinoxe d'automne ou pointant depuis la Terre la position du Soleil à celle de printemps. C'est la fameuse ligne g dont nous avons déjà parlé, encore appelée ligne vernale.

Un plan de référence, contenant cette ligne, soit un équateur terrestre soit l'écliptique.

Naturellement ces 2 éléments sont choisis à une date bien déterminée, généralement en calendrier julien.

DIVERS REPERES:

a. REPERE DIT FIXE :

On se donne une date julienne, par exemple 01/01/2000 12 h, le repère sera J2000 avec équinoxe et écliptique ( équateur ) de 2000.

b. REPERE DIT MOYEN :

Ce repère est défini par l'équinoxe moyenne et le plan de référence moyen ( écliptique ou équateur ) de la date des éphémérides. Un tel choix doit prendre en compte le mouvement de précession du repère en fonction de la date.

c. REPERE DIT VRAI :

Ce repère est défini avec l'équinoxe vraie et l'équateur terrestre exacts de la date de calcul des éphémérides ou l'équinoxe vraie et l'écliptique moyen de la date de calcul des éphémérides.

Dans ce cas les mouvements de précession de l'équinoxe et de nutation de l'axe de la terre sont pris en compte.

2°) AUTRES PARAMETRES ANGULAIRES:

Le lecteur a bien évidemment déjà réalisé que les définitions données en début de cours pouvaient présenter des singularités et des indéterminations dans certains cas : Orbites d'inclinaison nulle ( W n'existe plus ), orbites circulaires ( w n'a plus de sens ), etc...

Sans entrer dans ce paragraphe dans trop de détails, donnons le panel des paramètres couramment utilisés pour pallier certaines de ces difficultés.

DEFINITIONS : A l'évidence, pour les angles, on pourra se souvenir :

Qu'une longitude se mesure toujours à partir d'une équinoxe ( oubliez la longitude Greenwich des terriens ) .

Qu'une latitude est mesurée sur un méridien, à partir du plan de référence.

 Qu'un argument se mesure à partir d'une ligne des nœuds.

NOMENCLATURE DE PARAMETRES ANGULAIRES :

Surtout, on n'oubliera pas que quelquefois un angle est la somme d'angles se mesurant dans des plans différents ( noté en rouge avec *)

Longitude écliptique	Même définition que pour la terre
Latitude écliptique	id
Anomalie excentrique ( rappel )	j
Anomalie moyenne (rappel )	M = j - e sinj
Anomalie vraie (angle polaire )	q
Longitude nodale ou Heure sidérale du nœud ascendant	W
Longitude* du périhélie (périgée)	W + w
Longitude* moyenne du corps	W + w + M
Longitude vraie* du corps	W + w + q
Argument nodal du périgée	w
Argument de latitude du corps	w + q

3°) RESTITUTION D'ORBITE AUTOMATIQUE :

La maintenance d'un satellite, c'est à dire le respect des spécifications de la mission, exige à intervalles réguliers une restitution d'orbite. Cette opération consiste à l'aide de mesures effectuées au sol ou à bord, à estimer au mieux les paramètres orbitaux à une date fixée. La connaissance de ces paramètres orbitaux osculateurs permet de prévoir d'éventuelles opérations de contrôle d'orbite, en particulier.

Actuellement, pour nombre d'applications classiques, il se développe des systèmes automatiques de restitution d'orbite à bord, en temps réel.

Il en est ainsi du système DIOGENE ( Détermination Immédiate d'Orbite par GPS et Navigateur Embarqué ), développé par le CNES, qui utilise les mesures de pseudo-distance et de pseudo-vitesse d'un récepteur GPS de Sextant Avionique. Il peut équiper à partir de 1998 tout satellite en orbite basse au dessus de 600 km et les géostationnaires. Une précision de positionnement de 10 m et de 1 cm/s sur la vitesse sont possibles. On a donc une restitution d'orbite en temps réel. DIOGENE est même capable de gérer les erreurs de poussée commises lors des corrections de trajectoires.

De même pour DIODE système développé par Dassault Avionique ey utilisant la mesure Doppler DORIS. Toutes les 10 secondes une prédiction de position est effectuée par filtrage de Kalman, avec une intégration par Runge-Kutta ordre - des équations du mouvement prenant en compte le potentiel terrestre développé à l'ordre 40, les actions perturbatrices luni-solaire et la pression de radiation solaire. La précision de position sur orbite atteint le mètre.

4°) ROUTINES DISPONIBLES:

Le lecteur pourra trouver sur le site de nombreuses routines, permettant les calcul des vecteurs fondamentaux ou des paramètres orbitaux.

Voir Routines

a. Exécuter RV_PAR_W.EXE générale pour tout centre attirant, RV_PAR_S.EXE spécialement dédiée aux trajectoires héliocentriques( S indique Soleil ).

Voici ce qui est demandé et qui correspond à une GTO classique Tir le 10 mars 2006 à 12 h
Voici le résultat pour les paramètres orbitaux

 b) Exécuter VECTFOND.EXE pour déterminer les vecteurs fondamentaux connaissant les vecteurs position et vitesse.

Pour la même orbite qu'en a)

Voici ce qui est demandé et qui correspond à une GTO classique
Voici le résultat pour les vecteurs fondamentaux e, n, h.

NB : Paramètres orbitaux de la Station Spatiale Internationale ( ISS ), voir CODE TLE

Satellite: ISS

Catalog Number: 25544

Epoch time: 01320.83895832 = yrday.fracday (320.83895832 jours fractionnaire de 2001,)

Element set: 901

Inclination: 51.6362 deg

RA of node: 40.9891 deg ( Ascension droite du nœud ascendant, longitude vernale W )

Eccentricity: .0010255

Arg of perigee: 344.5090 deg ( Argument nodal du périgée w )

Mean anomaly: 15.5751 deg ( Anomalie moyenne M )

Mean motion: 15.61249101 rev/day ( Moyen mouvement n en révolutions/jours )

Decay rate: 5.79980E-04 rev/day^2 ( Décroissance du moyen mouvement n en révolutions/jours² )

Epoch rev: 1092

Checksum: 300

5°) REPERAGE D'UN GEOSTATIONNAIRE:

DONNEES :

Pour une orbite quasi circulaire et quasi équatoriale, l'excentricité e et l'inclinaison i sont très voisines de 0. w et W sont très mal définis. Quand on souhaite étudier les perturbations, on donne les paramètres adaptés suivants:

INCLINAISON	ix =hx = i cos W iy =hy = i sin W
Quasi vecteur EXCENTRICITE	ex = e cos ( w+W ) ey = e sin ( w+W )
l =w+W+M	Longitude moyenne du satellite comptée depuis la ligne vernale
Ou aussi lm =w+W+M-lg(t)	Longitude moyenne Greenwich
a	Demi grand axe classique

Pour information que le temps est "caché" sous M, l'anomalie moyenne.

l_g(t) désigne l'heure sidérale du méridien de Greenwich, à la date du calcul, c'est un angle que l'on peut récupérer dans les éphémérides du BDL ( IMCCE ) ou avec une précision moindre par la formule :

l_g(t) = 280°.45692+360°.9856474*jj2000 ( mod 360°)

où JJ2000 est la date Julienne de l'époque du calcul ( jour h mn s )

ou encore, par exemple :

JJ2000( 1/2/2006 15 h 20 mn 35 s) = 2223.1392940

CALCUL DES COORDONNEES GEOGRAPHIQUES D'UN GEOSTATIONNAIRE :

1°) Longitude Greenwich:

Longitude = l_m +2esin(M)+O(e²) ce dernier terme O(e²) étant l'erreur commise de l'ordre de e².

Donc :

Longitude = l_m +2esin(M)

2° Latitude :

Pour ce calcul, on peut confondre M j et q et donc :

Sin(Latitude) = sin( i ) * sin(M+w) = sini * sin[l_m-W+l_g(t)]

EVOLUTION DU TEMPS :

Comme indiqué plus haut, le temps est donné par M.

M = n (t-tp) avec le moyen mouvement n et tp temps de passage au périgée puisqu'il subsiste une légère excentricité e.

EXEMPLE SUR LES SATELLITES TELECOM 2A & 2D : Allez consulter et éventuellement vérifier les calculs

GUIZIOU Robert décembre 1998, revu décembre 2000, revu sept 2001,sept 2002, septembre 2005, novembre 2005, février 2006, septembre 2007, sept 2011